1)ÇEMBERDE AÇI VE UZUNLUK

2)GEOMETRİK YER

3)NOKTANIN ANALTİK İNCELENMESİ

4)PİRAMİT--KÜRE VE KONİ

5)PİRİZMALAR

6)UZAY GEOMETRİSİ

7)DAİREDE UZUNLUK VE ALN

8)DİKDÖRTGEN--KARE--DELTOİT

9)PARALELKENAR VE EŞKENAR DÖRTGEN

10)ÇEMBERDE AÇI

11)ÜÇGENLER

12)AÇI--KENAR BAGINTILARI

13)ÖZEL ÜÇGENLER

14)AÇIORTAY--KENARORTAY

15)BENZERLİK

16)ÜÇGENDE ALAN

1)ÇEMBERDE AÇI VE UZUNLUK

• İçten ve dıştan teğet çemberlerde merkezleri birleştiren doğru teğet noktasından geçer.

• TEĞETLER DÖRTGENİ

• KİRİŞLER DÖRTGENİ

• Çemberin üzerindeki bir noktanın çembere göre kuvveti sıfırdır

• Yarıçapları kesişim noktalarında dik olan çemberlere dik kesişen çemberler denir.

5. Bir Doğru İle Bir Çemberin Durumları
Aynı düzlemde bulunan O merkezli r yarıçaplı bir çember ile d doğrusu üç farklı durumda bulunur.
a. |OH| > r ise
doğru çemberi kesmez ve doğru çemberin dışındadır.
Çember Ç d = Æ


b. |OH| = r ise
doğru çemberi bir noktada keser. Yani doğru çembere teğettir.
Çember Ç d = {H}


c. |OH| < r ise
doğru çemberi iki noktada keser.
Çember Ç d = {A, B}

2)GEOMETRİK YER

1. Geometrik Yer Tanımları

• Düzlemde bir noktadan eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yeri bir çember belirtir.
• Düzlemde bir doğrudan eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yeri paralel iki doğrudur.
• Düzlemde sabit iki noktaya uzaklıkları eşit noktaların geometrik yeri bir doğrudur. (Orta dikme doğrusu)
• Düzlemde paralel iki doğruya uzaklıkları eşit noktaların geometrik yeri bir doğrudur.
• Düzlemde doğrusal olmayan sabit üç noktaya uzaklıkları eşit noktaların geometrik yeri bir noktadır.

2. Düzlemde sabit bir d doğrusu ve d doğrusu üzerinde sabit bir P noktası alınıyor.
d doğrusuna a cm ve P noktasına b cm uzaklıktaki noktaların geometrik yeri için,
P noktasına b cm uzaklıktaki noktaları bulmak için P merkezli b cm yarıçaplı çember çizilir.d doğrusuna a cm uzaklıktaki noktalar d doğrusuna paralel iki doğrudur.
A, B, C, D noktaları d doğrusuna a cm ve P noktasına b cm uzaklıktadırlar.
3. Üçgen Çizimi

• Bir kenara ait yükseklik h ise, o kenara h kadar uzaklıktan paralel doğru çizilir.
• Bir kenar uzunluğu |AB| kadarsa, A veya B noktasından |AB| yarıçaplı çember çizilir.

a. [AB] ve [BC] kenar uzunluğu ve ha yüksekliği verilen ABC üçgeninin çizilebilmesi için,
[BC] kenarına ha uzaklıktan bir paralel doğru çizersek A köşesi bu doğru üzerinde olmalıdır.[AB] kenarının uzunluğu bilindiğine göre, A köşesi B merkezli |AB| yarıçaplı çemberin üzerinde olmalıdır. O halde doğru ile çemberin kesiştikleri nokta bu iki şartı sağlayan A noktasıdır.
A noktası B ye ve C ye birleştirilerek ABC üçgeni çizilir.
b. [BC] kenarı, B açısı ve Va kenarortay uzunluğu verilen ABC üçgeninin çizilebilmesi için,
[BC] kenarının orta noktasından Va yarıçaplı çember çizersek, B açısının kolu ile çemberin kesim noktası A köşesini verir. A ve C birleştirilerek ABC üçgeni çizilir.4. Bir üçgenin belirli olabilme şartları
Bir üçgenin belirli olabilmesi için, en az biri kenar olmak şartıyla üç elemanı bilinmelidir.
a. İki kenarı ve bu iki kenar arasındaki açısı bilinen üçgenler çizilebilir.
[AB], [BC] ve
m(ABC) = a
sabit verileriyle bir tek ABC üçgeni çizilebilir.
b. Üç kenarı bilinen üçgenler.
[AB], [AC] ve [BC] sabit verileriyle bir tek ABC üçgeni çizilebilir.
c. Bir kenarı ve bu kenarın oluşturduğu köşelerdeki açıları bilinen üçgenler.
[AB], m(BAC) = a ve m(ABC) = b sabit verileriyle bir tek ABC üçgeni çizilebilir.
d. İki kenarı ve bu kenarların oluşturduğu açının dışında bir açısı bilinen üçgenler
[AB], [AC] ve m(ABC) = a sabit verileriyle iki farklı ABC üçgeni çizilebilir.
Şekildeki ABC üçgeninde de görüldüğü gibi verilerde bir değişiklik yapmaksızın aynı verilerle hem ABC üçgeni hem de ABC' üçgeni çizilebilir.

• Buradan a>90° olursa birtek üçgen cizilebilir

3)NOKTANIN ANALTİK İNCELENMESİ

1. Analitik Düzlem Bir düzlemde dik kesişen iki sayı doğrusunun oluşturduğu sisteme analitik düzlem denir. Analitik düzlem, dik koordinat sistemi veya dik koordinat düzlemi olarak da adlandırılır.
Dik koordinat sistemi

Dik koordinat sisteminde yatay eksen x ekseni (apsis ekseni), düşey eksen ise y ekseni (ordinat ekseni) dir.
Eksenlerin kesiştiği noktaya orijin denir.
Analitik düzlemde her noktaya bir (x, y) sayı ikilisi karşılık gelir. Bu sayı ikilisine noktanın koordinatları denir.P(x, y) noktası için, x noktanın apsisi, y de ordinatıdır. Apsis ve ordinat değerleri eksenlere çizilen dik doğruların eksenleri kestiği noktalardır.

Orijinin koordinatları O(0,0) dır.
x ekseni üzerindeki noktaların ordinatı sıfırdır. A(a, o) noktası gibi. y ekseni üzerindeki noktaların ise apsisi sıfırdır. B(o, b) noktası gibi.

• Koordinat eksenleri analitik düzlemi dört bölgeye ayırırlar.

I. Bölge: x > 0
y > 0
II. Bölge: x < 0
y > 0
III. Bölge: x < 0
y < 0
IV. Bölge: x > 0
y < 0

2 )Apsisleri veya ordinatları eşit olan noktalar arasındaki uzaklık.

• Apsisleri eşit olan iki nokta arasındaki uzaklık, bu iki noktanın ordinatları farkının mutlak değeridir. A(a, c) ve
  B(a, b) noktaları için
  |AB| = |c – b|

• Ordinatları eşit olan iki nokta arasındaki uzaklık, bu iki noktanın apsisleri farkının mutlak değeridir.

A(b, a) ve
B(c, a) noktaları için
|AB| = |c – b|

b. Apsisleri ve ordinatları farklı noktalar arasındaki uzaklık

Analitik düzlemde A(x1,y1) ve B(x2,y2) noktaları arasındaki uzaklık |AB| biçiminde gösterilir.
A ve B noktalarının analitik düzlemdeki yerleri belirtildiğinde AKB dik üçgeni meydana gelir.
AKB dik üçgeninde [AB] hipotenüsdür. [AK] dik kenar uzunluğu iki noktanın apsisleri farkı (x2 – x1) ve [BK] dik kenar uzunluğu iki noktanın ordinatları farkı (y2 – y1) dir.
Pisagor teoreminden iki nokta arası uzaklık;
eşitliği ile bulunabilir.
Burada x1 ile x2 nin ve y1 ile y2 nin yer değiştirmesi sonucu değiştirmez.

• İki nokta arası uzaklık bulunurken dik üçgenden de yararlanılabilir.

İki noktanın ordinatları farkı dik üçgenin bir kenarı, apsisleri farkı ise diğer dik kenarıdır.
Dik üçgenin hipotenüsü bize iki nokta arası uzaklığı verir.

c. Bir noktanın orijine uzaklığı P(a,b) noktasının orijine uzaklığı
3.Orta Nokta Koordinatları

Yukarıdaki şekilde A(x1, y1) noktası ile B(x2, y2) noktası veriliyor. [AB] doğru parçasının ortasındaki nokta K(x0, y0) noktası ise

• Köşegenleri birbirini ortalayan dörtgenlerde (kare,dikdörtgen, paralelkenar, eşkenar dörtgen) karşılıklı köşelerin koordinatları toplamları eşittir.

ABCD paralelkenar olduğundan [AC] nin orta noktası, [BD] nin de orta noktasıdır.
Buradan;
x1 + x3 = x2 + x4
y1 + y3 = y2 + y4
4.Belli Oranda Bölen Nokta Koordinatları

Belli oranda bölen noktayı bulurken; verilen oranlar ile apsisler farkı ve ordinatlar farkı arasında benzerlikten kaynaklanan bir eşitlik oluşur.
A(x1,y1) , B(x2,y2) ve C(x3,y3) noktaları için,
eşitliği vardır.Belli oranda bölen noktayı bulurken yukarıdaki eşitlikten faydalanarak aşağıdaki metod kullanılabilir.
m uzunluğunda (x2 – x1) kadar değişirse
n uzunluğunda (x3 – x2) kadar değişir.
Değişme miktarı artma yada azalma olabilir. Önemli olan noktaların aynı doğrultuda olması ve aynı yönde hareket etmektir. Aynı şeyler ordinatlar için de geçerlidir.
m uzunluğunda (y2 – y1) kadar değişirse
n uzunluğunda (y3 – y2) kadar değişir.
5. Üçgenin Ağırlık Merkezinin Koordinatları
ABC üçgeninin köşe koordinatları
A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3) ve ağırlık merkezi G(xG,yG) ise ağırlık merkezi koordinatları:
Bu eşitlikler belli oranda bölen nokta özellikleri kullanılarak elde edilebilir.
6. Köşe Noktalarının Koordinatları Bilinen Üçgenin Alanı
Köşe koordinatları A(x1,y1), B(x2,y2) ve C(x3,y3) olan ABC üçgeni veriliyor.

Köşe koordinatları bilinen üçgenin alanını bulmak için yukarıda olduğu gibi köşe koordinatları alt alta yazılır. İlk yazılan en alta ilave edilir ve şekildeki gibi çarpılır. Elde edilen sonuç ikiye bölünerek alan değeri bulunur. Alan negatif olamayacağından, sonuç negatifte çıksa pozitif kabul edilir. (Mutlak değeri alınır.)
Üç köşesinin koordinatları bilinen bir üçgenin alanı, üçgen analitik düzlemde çizilerek de bulunabilir.

• Köşe koordinatlarından herhangi ikisinin apsisleri yada ordinatları eşit ise üçgenin kenarlarından biri eksenlere paralel olur. Bu durumda üçgenin alanı çizilerek de bulunabilir.
• Bir üçgenin alanının sıfır çıkması, köşe koordinatları olarak verilen üç noktanın doğrusal üç nokta olduğunu gösterir
• 4)PİRAMİT,KÜRE VE KONİ
• • PİRAMİTLER

  Bir düzlemde kapalı bir bölge ile bu düzlemin dışında bir T noktası alalım. Kapalı bölgenin tüm noktalarının T noktası ile birleştirilmesi sonucunda oluşan cisme piramit denir.
  
  

  

  T noktası piramidin tepe noktasıdır. Kapalı bölge ise piramidin tabanıdır. Piramit; tabanı oluşturan şeklin ismiyle adlandırılır. Taban kare ise, kare piramit; taban altıgense altıgen piramit gibi.
  Eğer piramidin tabanı düzgün çokgense bu tip piramitlere düzgün piramit denir.
  T noktasının taban düzlemi üzerindeki dik izdüşümüne H dersek [TH] piramidin yüksekliği olur.
  |TH| = h biçiminde yazılır. [TA], [TB], [TC]… piramidin yanal ayrıtlarıdır.
  Piramitlerin hacmi taban alanı ile yüksekliğin çarpımının üçte biri kadardır.
  
  1.Kare Piramit

  

  Kare piramidin tabanı kare biçimindedir. Yan yüzeyleri ise dört adet ikizkenar üçgenden oluşur.
  İkizkenar üçgenlerin taban uzunlukları piramidin tabanının bir kenarına eşittir.
  |PH| = h piramidin yüksekliğidir.
  Yan yüz yüksekliği |PK| dır.
  Tabanının bir kenarına a dersek
  
  Buradan yan yüz yüksekliği
  |PK|2 = h2 + ( )2 olur.
  
  Tüm alan yan yüz alanları ile taban alanının toplamına eşittir.
  
  2. Eşkenar Üçgen Piramit
  Tabanı eşkenar üçgen olan piramitlere eşkenar üçgen piramit denir.
  
  Taban Alanıolduğundan3. Düzgün Dörtyüzlü
  
  

  

  Dört yüzü de eşkenar üçgenlerden oluşan cisimdir. Yükseklik, tabanı oluşturan üçgenin ağırlık merkezine iner.
  Bir ayrıtı a olan düzgün dörtyüzlünün
  Yarı yüz yüksekliğive Cisim yüksekliği olurBuradan
  
  
  4. Düzgün Sekizyüzlü
  Bütün ayrıtları birbirine eş ve yüzeyleri sekiz eşkenar üçgenden oluşan cisme düzgün sekizyüzlü denir.
  Bir ayrıtına a dersek yan yüz yüksekliği olur.
  Cismin, ortak tabanlı iki adet kare piramitten oluştuğunu
  düşünürsek piramitlerin yüksekliği;
  olur.
  Piramitin hacmi olduğundan;
  
  
  Yüzey şekilleri eşkenar üçgen olduğundan
  
  5. Düzgün Altıgen Piramit
  Tabanı düzgün altıgen olan piramide düzgün altıgen piramit denir.
  Yan yüzeyleri altı adet eş ikizkenar üçgenden oluşur.
  KONİ
  Tabanı daire biçiminde olan piramide koni adı verilir.
  Taban alanı =olduğundan
  
  bulunur. Yan yüzeyleri altı adet eş ikizkenar üçgen oluşur.
  KONİ
  
  

  

  Tabanı daire biçiminde olan piramite koni adı verilir.
  Burada;
  Taban yarıçapı |OB| = r
  Cisim yüksekliği |PO| = h olur.
  |PA| = |PB| = l uzunluğuna ana doğru denir.
  POB dik üçgeninde,
  h2 + r2 = l2 bağıntısı vardır.
  Koninin yanal alanı bir daire dilimidir.
  
  Daire diliminin alanı, yay uzunluğu ile yarıçapın çarpımının yarısıdır. Yay uzunluğu taban çevresine eşit olduğundan,
  Yanal alan= pr2+prl
  Tüm alan bulunurken, taban alanı da ilave edilir.
  Tüm alan = šr2 + šrl

  • Daire diliminin merkez açısına a dersek

  oranı elde ederiz.

  • Yükseklikleri ve taban yarıçapları eşit olan iki cismin hacimleri de birbirine eşittir.

  

  • Üçgensel şekiller bir kenarı etrafında döndürüldüğünde koni elde edilir.şekildeki ABC dik üçgeninin AB kenarı etrafında döndürülmesi ile |BC| yarıçaplı ve yüksekliği |AB| olan koni elde edilir.

  
  

  

  Kesik piramitlerin hacimleri bulunurken cisim piramide tamamlanır.
  [O1B] // [O2D] olduğundan
  benzerliği vardır.Küçük koninin büyük koniye benzerlik oranı dir. Alanları
  oranı benzerlik oranının
  karesi olduğundan, alanlar oranı olur. Hacimler oranı
  ise benzerlik oranının küpüdür. r1 yarıçaplı küçük koninin hacmine V1, r2 yarıçaplı büyük koninin hacmine V2 dersek
  
  
  KÜRE
  Uzayda bir noktadan eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yerine küre yüzeyi denir. Küre yüzeyinin sınırladığı cisme küre adı verilir. Sabit noktaya kürenin merkezi, merkezin küre yüzeyine uzaklığına da kürenin yarıçapı denir.O merkezli R yarıçaplı kürede;
  
  Yüzey alanı1. Küre Dilimi
  [KL] çap
  m(AOB) = a
  şekildeki gibi kesilip çıkarılan küre diliminin hacmi
  
  2. Küre Kapağı
  
  

  

  Bir küre merkezinden |OP| uzaklıkta bir düzlemle kesildiğinde kesit alanının daire şeklinde olduğu görülür.
  Kesilip çıkarılan kısma küre kapağı denir. Kesitin merkezinden uzaklığına |OP|, kesitin yarıçapına r ve kürenin yarıçapına R dersek
  |OP|2 + r2 = R2eşitliği vardır. h = R - |OP|Küre kapağının alanı= 2pRhYandaki şekildeki gibi olan
  Küre parçasının haçmi

  
  5)PİRİZMALAR

• • DİK PRİZMALARIN ALAN ve HACİMLERİ

  Alt ve üst tabanları paralel eş şekillerden oluşan cisimlere prizma denir. Yan yüzeyleri taban düzlemine dik olan prizmalara dik prizma adı verilir.
  
  

  

  Prizmalarda yan yüzeyleri birleştiren ayrıtlara yanal ayrıt denir.
  [AA'], [BB'], [CC'], [DD']
  yanal ayrıtlardır.
  Dik prizmalarda yanal ayrıt cismin yüksekliğine eşittir.
  Cismin yüksekliğine h dersek
  h = |AA'| = |BB'| = |CC'| = |DD'| olur.
  Prizmanın Hacmi
  Hacim=Taban Alanı x Yükseklik
  

  

  Dik prizmanın taban biçimi nasıl olursa olsun, yanal yüzeyi daima bir dikdörtgen olur. Yanal yüzü oluşturan dikdörtgenin alt kenarı tabanın çevresi kadardır. Diğer kenarı ise h yüksekliği kadar olur.
  Yanal Alan = Taban çevresi x YükseklikBütün dik prizmaların yanal alanı taban çevresi ile yüksekliğin çarpımıdır. Bütün Alan ise yanal alan ile iki taban alanının toplamıdır.
  Tüm Alan = Yanal Alan + 2. Taban Alanı1. Dikdörtgenler Prizması
  Dikdörtgenler prizması yan yüzeyleri karşılıklı ikişer ikişer eş olan altı adet dikdörtgenden oluşan prizmadır. Burada hacim, taban alanı olan (a.b) ile yükseklik olan (c) nin çarpımıdır. Alan ise (a.b), (b.c) ve (a.c) yüzey alanlarının ikişer katlarının toplamıdır. Dikdörtgenler prizmasında birbirine en uzak iki köşeyi birleştiren doğru parçasına cisim köşegeni denir.Cisim köşegeni daima prizmanın içinden geçer. Yüzeylerinden geçmez. Sadece bir yüzeyden geçen köşegene o yüze ait yüzey köşegeni denir. Burada köşegenlerin uzunlukları
  |AC'| = |A'C| = |BD'| = |B'D| = e (cisim köşegeni)
  |BD| = f (Yüzey köşegeni) olsun. Bu durumda
  Hacim = a.b.c
  Alan =2(ab+bc+ac)
  Alan = 2 (ab + bc + ac)
  Cisim Köşegeni: e =Öa2 + b2 + c2
  Yüzey Köşegeni: f = Öa2 + b2
  2. Kare Prizma
  Tabanı kare olan prizmalara kare prizma denir. Yan yüzü dört adet eş dikdörtgenden oluşur.
  
  

  

  
  Hacim = a2 . hYanal Alan = 4 . a . h
  Alan = 4.ah + 2.a2Cisim köşegeni : e = Öa2 + a2 + h2
  3. Küp
  Bütün ayrıtları birbirine eşit olan dik prizmaya küp denir. Tüm yüzeyleri kare dir.
  Hacim = a3
  Alan = 6a2
  Kübün yüzey köşegenleri birbirine eşittir.
  Yüzey köşegeni: f = aÖ2
  Cisim köşegeni: e = aÖ3
  4. Üçgen Prizmalar
  Prizmalar tabanlarının şekline göre isim aldıklarından tabanı üçgen olan prizmalara üçgen prizma denir.
  Üçgen prizmalar tabanını oluşturan üçgene göre isimlenir.
  a. Eşkenar Üçgen Prizma
  Eşkenar üçgen prizmanın tabanları eşkenar üçgendir. Yan yüzeyleri ise üç tane eş dikdörtgenden oluşur.Tabanı eşkenar üçgen olduğundan
  
  

  

  Tabanı eşkenar üçgen olduğundan
  Taban alanıHacimTaban çevresi 3a olduğundan, yanal alan 3a.h dır.
  Buradan tüm alanı
  Tüm alanb. Dik Üçgen Prizma
  Dik üçgen prizmanın tabanı dik üçgendir. Yan yüzeyleri ise üç tane dikdörtgenden oluşur.
  
  

  

  Tabanı dik üçgen olduğundan
  Taban alanı =HacimTaban çevresi a + b + c olduğundan,
  Yanal alan = (a + b + c) . h
  Tüm Alan = b . c + (a + b + c) . h
  5. Silindir
  Tabanı daire olan prizmalara silindir denir. Silindirin yan yüzü dikdörtgen biçimindedir. Dikdörtgenin bir kenarı yükseklik kadar, diğer kenarı ise taban dairesinin çevresi kadardır.
  
  

  

  Taban alanı= pr2
  Hacim= pr2hTaban çevresi 2pr olduğundan yanal alan 2prh olur.
  Tüm alan = 2prh+ 2prBir dikdörtgen levha bir kenarı etrafında döndürüldüğünde silindir elde edilir.
  6. Düzgün Çokgen Prizmalar
  Tabanı düzgün çokgenlerden oluşan prizmalara düzgün çokgen prizmalar deriz. Taban ayrıtları birbirine eşittir. Diğer dik prizmalarda olduğu gibi düzgün çokgen prizmalarda da yanal ayrıt aynı zamanda yüksekliktir.

  • Dik prizmalarda taban şekli ne olursa olsun, hacmin taban alanı ile yüksekliğin çarpımı ve yanal alanın ise taban çevresi ile yüksekliğin çarpımı olduğunu unutmayalım.

  EĞİK PRİZMALAR
  1. Eğik Kare Prizma
  
  

  

  Tabanı, bir kenarı a olan kareden oluşan prizma bir yöne doğru taban düzlemi ile a açısı yapacak kadar eğilirse eğik kare prizma elde edilir.
  Prizmanın yanal ayrıtlarına l dersek,
  Prizmanın yüksekliği h =l .sin a olur.
  Eğik prizmanın yanal ayrıtlarına dik olacak şekilde oluşan kesitine dik kesit denir. Eğik kare prizmanın iki yan yüzeyi dikdörtgen, diğer iki yan yüzeyi ise paralelkenardır.
  Eğik kare prizmanın dik kesitinin bir kenarı taban kenarı a kadar, diğeri ise,
  a'=a.sin a kadardır.
  Buradan;
  Dik Kesit Alanı = Taban Alanı x Sin a
  Dik kesit çevresi = 2a +2a.sin aEğik prizmaların yanal alanlarının toplamı
  Yanal alan= Dik kesit çevresi x Yanal Ayrıtbağıntısı ile bulunur. Alt ve üst tabanlar ilave edildiğinde tüm alan bulunmuş olur. Bütün prizmalarda olduğu gibi eğik prizmalarda da hacim, taban alanı ile yüksekliğin çarpımı ile bulunur.
  Hacim = Taban Alanı x YükseklikAyrıca dik kesit alanı ile yanal ayrıtın çarpımı ile de hacim bulunabilir.
  Hacim = Dik Kesit Alanı x Yanal Ayrıt
  2. Eğik Silindir
  |AA'| = |BB'| = l
  Yanal ayrıtı l olan ve taban düzlemi ile a açısı yapan eğik silindirde yükseklik,